Soumis par mathemator le 5 Octobre 2013 - 12:31pm

Voici un tableau qui donne l'extension de la banquise au minimum de
septembre de 1979 à 2012 (source : NSIDC National Snow and Ice Data Center):

Année	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91
Surface (km$^2$)	7.20	7.85	7.25	7.45	7.52	7.17	6.93	7.54	7.48	7.49	7.04	6.24	6.55

Année	92	93	94	95	96	97	98	99	00	01	02	03	04
Surface (km$^2$)	7.55	6.50	7.18	6.13	7.88	6.74	6.56	6.24	6.32	6.75	5.96	6.15	6.05

Année	05	06	07	08	09	10	11	12
Surface (km$^2$)	5.57	5.92	4.30	4.68	5.63	4.90	4.34	3.60

Voici une définition de la moyenne mobile d'ordre $k$ d'une telle série:

Définition : moyenne mobile
On appelle moyenne mobile d'ordre $k$ la moyenne arithmétique d'un terme avec les $k$ termes voisins.
- si $k$ est impair, c'est-à-dire s'écrit sous la forme $k=2p+1$ alors on remplace chaque terme par la moyenne de ce terme, des $p$ termes suivants et des $p$ termes précédents ;
- Si $k$ est pair, c'est-à-dire s'écrit sous la forme $k=2p$, c'est moins évident~:~on remplace chaque terme par la moyenne de ce terme, des $p$ termes suivants et des $p$ termes précédents mais les termes extrêmes sont affectés d'un coefficient 1/2.

Lisser une série chronologique c'est remplacer la série initiale par
la série des moyennes mobiles.

Par exemple, reprenons les données ci-dessus et effectuons
un lissage par moyennes mobiles d'ordre 5. Il y a 30 termes au
départ. L'ordre 5 étant impair, on va remplacer chaque terme par la
moyenne de ce terme, des 2 précédents et des deux suivants: on est donc
obligé de commencer par le troisième terme et de terminer par le
vingt-huitième.

On remplacera alors $t_3$
par $t'_3=\frac{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5}{5}=\frac{5,3+5,5+4,95+5,13+5,37}{5}=5,25 $

Avec Python

On construit récursivement la liste des moyennes mobiles (dans le cas impair, c'est plus facile...).

Pour un rendu graphique d'une grande qualité, on utilise le module pygal de Python.

Ensuite, depuis ipython, on peut visualiser sur firefox par exemple, avec la commande !firefox ./banquise.svg

Python

def moyenne_mobile_impaire(y,k):
    def mobile(y,k,n):
        if n + k//2 >= len(y):
            return []
        else:
            return [sum(y[n - k//2 : n + 1 + k//2]) / k] + mobile(y,k,n + 1)
    return list(repeat(None,k//2)) + mobile(y,k,k//2)
 
 
donnees = [7.2, 7.85, 7.25, 7.45, 7.52, 7.17, 6.93, 7.54, 7.48, 7.49, 7.04, 6.24, 6.55, 7.55, 6.5, 7.18, 6.13, 7.88, 6.74, 6.56, 6.24, 6.32, 6.75, 5.96, 6.15, 6.05, 5.57, 5.92, 4.3, 4.68, 5.63, 4.9, 4.34, 3.6]
 
from pygal import *
 
banquise = Line(x_label_rotation=45)
 
banquise.title = "Évolution de la surface de la banquise au  minimum de septembre de 1979 à 2012 (source : National Snow and Ice Data Center)"
 
banquise.x_labels = list(map(str, range(1979, 2013)))
 
banquise.add("surface de la banquise au  minimum de septembre",donnees)
 
banquise.add("Moyenne mobile d'ordre 7", moyenne_mobile_impaire(donnees,7))
 
banquise.render_to_file("banquise.svg")
 
!firefox ./banquise.svg

Voici le magnifique rendu SVG : n'hésitez pas à survoler les différentes parties de la page avec votre souris.

Avec xcas

Giac-XCAS

lmm(L,k):={
  X  := L[0];  Y := L[1];
  Xm := NULL; Ym := NULL;
  imax := size(X)-1;
  si k mod 2 == 0 alors
    p := k/2;
    pour j de p jusque imax-p faire
      Ym := Ym , (0.5*Y[j-p] + somme(Y[l],l,j-p+1,j+p-1) + 0.5*Y[j+p])/k;
      Xm := Xm , X[j];
    fpour; 
  sinon
    p := (k-1)/2;
    pour j de p jusque imax-p faire 
      Ym := Ym , (somme(evalf(Y[l]),l,j-p,j+p))/k;
      Xm := Xm , X[j];
    fpour;
  fsi;
  C :=  couleur(ligne_polygonale(X,Y),rouge):;
  Cm := couleur(ligne_polygonale([Xm],[Ym]),bleu):;
  retourne C,Cm }:;

Lissage par moyennes mobiles

Avec Python

Avec xcas