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Marche aléatoire d'une tortue : article mathématice


Voici un nouvel article pour la revue MATHÉMATICE concernant l'exercice 4 du
sujet du Bac S Antilles de septembre 2013.

Une nouvelle fois, un sujet de Bac reproduit les calculs d'un tableur et on ne peut que le regretter...

N'utilisez jamais excel pour faire des calculs !!

Regardez le massacre:

Duc de Toscane avec Scilab

La fonction grand(nb_lignes,nb_cols,'unf',mini,maxi) génère une matrice remplie de nombres aléatoirement choisis sur l'intervalle réel [mini,maxi[.

On fabrique donc une matrice d'une ligne contenant n expériences du Duc:

Duc de Toscane avec Giac/XCAS

La fonction count_eq(val,liste) compte le nombre d'occurrences de val dans liste.

La fonction hasard(n) renvoie un entier entre 0 et n-1 compris.

La première idée consiste à utilier une boucle pour ranger les valeurs dans une liste :

Poker en Haskell

une approche constructive

Nous allons aborder le problème du poker (cf introduction du traitement avec Python) de manière cette fois constructive : nous allons créer les mains de Poker pour ensuite les compter, ce qui correspond à la démarche utilisée en cours de mathématique, une fois qu'ont été introduites les combinaisons.

Poker en Python

Dénombrer

On demande souvent au lycée de faire des simulations et de tenter de bidouiller quelque chose avec deux ou trois résultats de statistique inférentielle admis ou « démontrés » par observation...

Nous allons plutôt rester dans un domaine mathématique non magique et ne plus faire un sondage sur des résutats partiels mais dénombrer tous les résultats.

Approximation de ln(x) par la méthode de Monte-Carlo

Méthode de Monte-Carlo starifiée pour le calcul de $\ln(2)$

Il s'agit de calculer une approximation de $\ln(x)$ ou de toute autre expression non polynomiale par la méthode de Monte-Carlo naïve : le principe est de « tirer » au hasard dans une cible rectangulaire et de compter le nombre de fois où la « fléchette » se plante en-dessous de la courbe représentative de la dérivée de la fonction.

Simulations de lois de probabilité avec CAML

Simulation de la loi binomiale avec Caml et comparaison avec les valeurs théoriques. Calcul récursif des valeurs de la loi de Poisson. Diverses expériences aléatoires. Lois géométriques et hypergéométriques.

Surcharge en Caml pour calculer une espérance

Avec Caml, on est vite confronté au problème de surcharge des opérateurs arithmétique. Il y a pourtant un moyen d'y remédier. Il est instructif de lire par exemple cet article .
Je m'en suis inspiré pour calculer l'expérance d'une loi à valeurs entières ou flottantes:

Module de probabilités en CAML

Diporama présentant un petit module de probabilités pour CAML:

Le diaporama au format PDF et TEX.

Duc de Toscane avec Scala

Le Duc en Scala :

Duc de Toscane

Cosme II de Médicis (Florence 1590-1621), Duc de Toscane, fut le protecteur de l’illustre Gallilée (né à Pise le 15 février 1564
et mort à Florence le 8 janvier 1642) son ancien précepteur. Profitant d’un moment de répit du savant entre l’écriture d’un
théorème sur la chute des corps et la création de la lunette astronomique, le Grand Duc lui soumet le problème suivant : il
a observé qu’en lançant trois dés cubiques et en faisant la somme des numéros des faces, on obtient plus souvent 10 que 9,

Duc de Toscane avec Haskell

Toujours plus court avec Haskell...

Duc de Toscane avec CAML

Le problème du Duc de Toscane simulé avec CAML. On fabrique nos outils...

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