Mathjax

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Soit la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[u_{0} = \frac{1}{2} \quad \text{et}\quad u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_{n} + \frac{2}{u_{n}}\right)\]

  1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0~;~ +\infty[\) par
    \[f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{2}{x}\right)\]
    Étudier le sens de variation de \(f\).
    1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul $u_{n} \geq \sqrt{2}$.
    2. Montrer que pour tout $x \geq \sqrt{2} ,~f(x) \leq x$.
    3. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $1$.
    4. Prouver qu'elle converge puis calculer sa limite.

Soit $\lambda$ un nombre complexe non nul et différent de $1$.

On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0}&=&0\\
z_{n+1}&=&\lambda \cdot z_{n} + \text{i}\\
\end{array}\right.\]
On note $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$.

  1. Calcul de $z_{n}$ en fonction de $n$ et de $\lambda$.
    1. Vérifier les égalités : $z_{1} = \text{i}~ ;~ z_{2} = (\lambda + 1)\text{i}~ ;~ z_{3} = (\lambda^2 +\lambda + 1)\text{i}$.
    2. Démontrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul : $z_{n} = \frac{\lambda^n - 1}{\lambda - 1}\cdot \text{i}$.
  2. Étude du cas $\lambda = \text{i}$.
    1. Montrer que $z_{4} = 0$.
    2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $z_{n}$.
    3. Montrer que $M_{n+1}$ est l'image de $M_{n}$ par une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
    4. Représenter les points $M_{0}~,M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$ dans le repère.

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