Analyse 2 : vers l'infini et au-delà.

On distingue les mathématiques CONtinues des mathématiques disCRÈTES. Les premières correspondent à celles que vous avez découvertes au lycée avec le calcul différentiel (dérivées, intégrales) alors que les secondes correspondent à celles que vous avez étudiées jusqu'à maintenant à l'IUT (suites, arithmétiques, dénombrement, graphes, automates,...). Nous allons dans cette partie les lier plus étroitement: l'informaticien doit en effet faire le lien entre l'univers physique qui l'entoure qui est continu et la mémoire de son ordinateur qui est discrète. C'est la même distinction que l'on fait entre un système analogique (une montre à gousset) et un système digital (une montre à affichage par cristaux liquides).

Nous explorerons dans cette première partie:

  • La complexité des algorithmes;
  • Les relation de domination;
  • Sommes infinies ayant une valeur finie;
  • Les problèmes du calcul différentiel en informatique.

Dans les années 1960, Pierre Bézier, ingénieur chez Renault, définit une méthode permettant de modéliser des carrosseries de voitures: avec quelques données discrètes il
arrive à représenter une courbe continue en utilisant des polynômes qui définissent de nouvelles courbes faciles à paramétrer et qui coïncident avec les courbes initiales en un nombre discret de points. Cette méthode a été reprise en informatique par exemple pour la construction de fontes de caractères, pour le dessin vectoriel sur des logiciels comme Blender, The Gimp, etc.

  • Formules de Taylor;
  • Développements limités;
  • Diverses interpolations polynomiales;
  • Courbes de Bézier; Splines;
  • Intégration numérique et retour sur les problèmes d'arrondis.

À travers la recherche des décimales de \(\pi\), nous plongerons au cœur du processeur pour comprendre comment il calcule et comment ne pas être surpris par quelques erreurs d'arrondis qui pourraient s'avérer catastrophiques...

Le cours et les TD au format PDF et TEX et le diaporama au format PDF

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